スレ主はもう見てないと思うけど、他の人が見て誤解したら良くないので書き残しておきます。
精神科や心療内科に関して、中学生以下でも診察してくれる病院はあります。
基本的には治療方針や投薬履歴などを確認する為に保護者同伴としているところが多いですが、
事情を話せば対応してくれるところも存在します。スレ主の状況はその余地があると思われます。
中学生以下でも対応してくれるかどうかは、受診予約の際に相談すると良いです。
受診先を選ぶ目安は、ざっくり言うと身体症状の有無です。（※病院側でもヒアリングの時に識別してくれると思います。）
心療内科：心への負担が原因となって身体に症状が出ている場合。
精神科 ：身体症状は無いが、心が不安定だったり思考が正常にできていないと感じる場合。
保険証は治療費を7割引きにしてもらう為の証明書です。10割払えば保険証は不要です。
金額は予約時などに確認すればある程度教えてもらえます。（10割負担だと5000〜17000円ぐらいだと思われます。）
※これは自分の無知かもしれませんが「病院の名前と月が記された通知はがき」は見たことがありません。
学校の先生にバレることは十中八九ありません。
先生が病院に問い合わせても、病院はあなたを知っているかどうかすら教えません。
※何らかのアクシデント（先生と病院で鉢合わせたとか？）でバレた場合、先生に何を隠したいのかによって
変わってくるので、それについては省略します。
わかりやすい説明ども、融通のきく精神科があるんすね
自分が行った所は全くそういうのダメだったからてっきりそういうものだとばっかり
通知書の名前はなんだったかな…たしか保険証を使ったその分だけ来院日やら病院名が記載されて来るはず、自分はそれ届いてバレたので
だから親に内緒で産婦人科を受診したい未成年の子は言い訳出来るように総合病院に行くとかなんとか（受診した科までは記載されない）