Google関係アプリのバックグラウンド制限とかかけてないか？ かけてるとログインできなくなる可能性があるらしい あとは https://support.google.com/googleplay/troubleshooter/6241347?hl=ja&vid=0-undefined-1476486095082 このあたりでも参考になればいいんだが
バックグラウンド制限とはなんぞや 頑張ってみたが直らぬ