>>364
丁度今その方とお話しができたのでお返事しておきます。
積の形とはいわゆる６＝１×２×３のような形にすることで、aとbのGCDがan-b^2の約数であるというためには、証明の過程でan-b^2=○×▲のようにしなければ約数を表すにおいては不十分、とのことです。しかし夢売りが>>364でちゃんと積の形に変形できているので、それならば問題なく証明はできているので、aとbが互いにs素であるといって良い。そして僕が前に回答した連立式を利用してすれば、aとbとcが奇数か偶数かもわかるので、二つのやり方を統合すれば解法が見えてくるかもしれない、とのことです。
走り書きな乱雑とした内容ですみませんが大まかにいうとこういうことでした。力になれれば幸いです(^q^)
とても分かりやすい説明有り難うございます。納得がいきました。あと、今日友達に会ったので答えを聞いてきました。シュシュ先生にお世話になった問題なので、スレチな事とは存じておりますが解法を書かせていただきます。
a,b,cが互いに素であり、a^2+1はbでもcでも割りきれる。よって、a^2+1=bcP1と表せ、同様に、b^2+1=acP2,c^2+1=abP3と表せる。(P1,P2,P3は自然数)。よって、(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)は(abc)^2の倍数。つまり、(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)/(abc)^2 =(1+1/a^2)(1+1/b^2)(1+1/c^2)が整数となる。ここで、abc全てが2以上であると仮定する。すると、1<(1+1/a^2)(1+1/b^2)(1+1/c^2)≦(5/4)^3=125/64<2となる。すると、(1+1/a^2)(1+1/b^2)(1+1/c^2)が整数でなくなる。これは矛盾する。よって、a,b,cの内、少なくとも一つは一である。a=1とする。この時、bはa^2+1=2の約数となる。b=1の時、c=2、b=2の時、c=1より、(a,b,c)=(1,1,2),(1,2,1)が成り立つ。この二つはどちらも条件を満たしている。また、条件はa,b,cに対して対称なので、b=1若しくはc=1としたときに出る解はa=1としたときの解の並べかえになる。よって、求める答えは(a,b,c)=(1,2,1)(1,1,2)(2,1,1)のみである。
友達に聞いたところ、何かのテストの過去問だったそうです。スレチな事を長々と書いてしまい申し訳ありませんでした。シュシュ先生から頂いたアドバイスから別解を作りだせないかチャレンジしてみようと思います。有り難うございました。