数学教えてほしいです

f(x)＝√x+1のときf(x)＝f^-1(x)の解
√(x+1)ではなく、√xに+1です。f^1(x)はf(x)の逆関数です。解は(3+√5)/2なんですが、どうしてそうなるか分かりません。以下自分の解き方
まず逆関数を求める。
y=√x+1
√x=y-1
x=(y-1)^2
f^1(x)=(x-1)^2ここまでは合ってる？
√x+1=(x-1)^2
√x=x^2-2x
x=(x^2-2x)^2
展開して移項すると
x(x-1)(x^2-3x+1)=0
よってx=0、1、(3±√5)/2 以上
x=1のときはそもそも成り立たないのにどうしてそういう答えが出てしまったのかわからないし、0に至っては代入しても成立するしx>0という条件もないのになぜ違うのかがわかりません。答えが出ているっちゃ出ているんですが、(3+√5)/2以外が式では出ているのに解になっていない理由が知りたいです。自分では原因が分かりませんでした。

ですよね