ざっくりとですが、
君は15歳以上なので、自分の意志で戸籍や名字を選ぶ権利があるので慎重になっているんだよね。
まず、名字の変更は母が家庭裁判所で手続きを行うことになる。君が父の名字をそのまま使いたいなら母の戸籍に入っても使える。
その場合、母と君は同じ戸籍でも名字が違うことになる。
もし、父の名字を名乗ることが出来ても、父がこの先再婚して子供が出来たら、その子供と君は同じ名字ということになるけどそれでもいいのかな。離婚後3ヶ月過ぎたらもう母の名字への変更は不可能なので、慎重に考えてほしい。
学校での偏見は学校生活だけで終わるが、社会人になっても父の名字を名乗って生きていくことのほうが長い。君が結婚して、結婚した相手の名字へ変わることにならないかぎり、父の名字で生きる覚悟があるかのかどうか。
親権は母ならば、家裁への手続きは離婚後早めに手続きしなければ、君を扶養する親の収入・社会保険、国民(健康)保険・税金・学校にかかる費用の手続きに影響が出る。名字も戸籍と同じ手続きになるので、離婚成立後3ヶ月以内に決めないといけない。