※私の考え方なので、分かりにくいかもしれません。
もう習っているかは分かりませんが、□(何かしらの文字)を使った多項式には｢□を△に置き換えて0になるなら(□ー△)を必ず因数に持つ｣というような性質があります。
(b^3ーc^3)の場合、bをcに置き換えると0になるので、(bーc)×何かの積であることが分かります。
そこでまずは、とにかく目的の(b^3ーc^3)を作れるように(bーc)(b^2＋c^2)と書いてみると(かなり急な作り方ですが、慣れると案外使えます)
(bーc)(b^2＋c^2)=b^3ーc^3＋bc^2ーb^2c
(bーc)(b^2＋c^2)ーbc^2＋b^2c＝b^3ーc^3
(bーc)(b^2＋c^2)＋(bーc)bc＝b^3ーc^3
(bーc)(b^2＋bc＋c^2)＝b^3ーc^3
と変形していくことができます。