無理数かもしれん

俺は無理数かも知れない数を見つけた。
小数点以下の数がフィボナッチ数列の通りに並んでいる数だ。
(0.1123581321...)
...私はこれが無理数だということについて驚くべき証明を見つけたが、それを書くには余白が狭すぎる。
(なお主はクソガキの模様

とりま証明を書くだけ書いて、どうぞ

フィボナッチ数列の通りに並んでる、って
言ってる時点でその数字の小数点以下の
数に限界は無いものとみなされるので
どう考えても無理数だとは思いますが、
その数字を使う機会は絶対無いと思います。

フィボナッチ数列の逆数の和が無理数という
話ならまだ使い所がありますが。

>>3
限界は無いから無理数っておかしくね？
直感的には正しそうやけど、厳密に正しいかどうかと問われば難しい話やと思うけど、、、

別に自分はそこまで理屈で固めた
説明の仕方をしたつもりはありません。
フィボナッチ数列という前提があっての
あの言葉なので、そこだけサルベージして
提示、指摘されてもなんとも言えません。

サルベージの意味も調べたけどピンと来ない

>>4 についてはどういうことに応用できるの？それともテキトーに言ってみただけ？

フィボナッチ数列の逆数和ってダランベールの判定法で収束するらしい。代数的無理数だってことが証明はされてるらしいけど、何に対して使いどころがあるのかはあんまよく分からんかった

限界がないかどうかではなく循環するかどうかですが。
同じようなコンセプトの数でチャンパーノウン定数やリウヴィル数というものがあります。前者は簡単に無理数であることが証明でき、後者は簡単に超越数であることを証明できます。

https://math.stackexchange.com/questions/505017/is-the-number-0-112358132134-rational-or-irrational ここに証明がありますね

フィボナッチ数列F_nをF_1=1,F_2=1,F_n=F_(n-1)+F_(n-2)(n>=3)と定義する。
また、議論の対象となる数をx=0.112358....とする。


補題1
全ての自然数mに対して、ある自然数tが存在し、全ての自然数nについて
F_n=F_(n+t) (mod m)
となる。

ある有限集合Sと写像f:S -> Sを考えると、写像fをSのある要素に繰り返し用いることで得られる数列{a_n}は鳩の巣原理よりある自然数kが存在し、n>=kについて周期的である。---(*1)
ここで、Sのある要素eにfを繰り返し用いることで得られる数列を{a_e_n}として、全てのeに対してa_e_nが周期的である十分条件はfが全射であることである。(これは必要十分条件だが、ここでは証明する必要がないので省く。)
fが全射であるとき逆写像f^-1が存在し、(*1)より、あるkが存在し、n>=kについてa_e_nは周期的なので、周期の長さをtとして、a_e_kからa_e_(k+t-1)に複数回f^-1を用いることで、a_e_0からa_e_(t-1)までが分かり、これらは周期的であるので、a_e_nが周期的であることが示された。---(*2)

ここで、集合Sをmにおける剰余類の対の集合として、写像fを(a,b)->(b,a+b)とすると、Sは有限集合でありfは全射であることが簡単にわかるので、(*2)より、補題1が示された。

補題1より、任意の自然数mに対して、a_n=0(mod 10^m)となるnが存在することが分かる。
なので、xのd桁目でに最初の周期があったとして、そこで最も続いていた0の連続がm桁だとしても、そのあとにはm桁以上の0の連続があり、それが周期となりえないことが分かり、これは任意のdについて成り立つのですなわちxは循環小数ではない。
よって、xは無理数。