一人塾

注意 私個人で使用するので乱入はお控えください。

計算は簡単だけど用紙に記入するのめんどくさいから、頭の中で答案完成したらそれで良いことにしようっかな笑

［4C-7］

https://i.imgur.com/AAIoRGe.jpg

正方行列のブロック行列でできるも AA^-1=Eが成り立つ

［5C-1］

https://i.imgur.com/Ub73wdR.jpg

(1)に関して
余因子展開すれば万事解決

（2）に関して
線形写像であることは以下の2つが成り立つ
i) p1(x),p2(x) ∈ P として
　　f(p1(x))+f(p2(x))=f(p1(x)+p2(x))
ii)kを任意の実数として
　　kf(p(x))=f(kp(x))
なお、以上のことは線形性と呼ぶ

（3）に関して
p(x)の基底における成分は（d c b a）の転置行列D
f(p(x))=p(x-1)の基底における成分を求め、表現行列AとDの積の形に書き換える

［5C-2］

https://i.imgur.com/0kuTRrL.jpg

（1）に関しては基本中の基本
（2）に関して
det(A^2)=detA×detAであることを利用
また、rank(A^2)を求める際、A^2を求めた後、行基本変形をしなければならない

（3）に関して
R^3の標準基底e1,e2,e3を定義し
x=xe1+ye2+ze3とおく。
TA(x)=xTA(e1)+yTA(e2)+zTA(e3)となるから
(TA(e1)　TA(e2)　TA(e3))=A→A'（A'はAの行基本変形後）TA(e3)は定数倍のTA(e1)と定数倍のTA(e2)の和で表せられるから、TA(e1)とTA(e2)がImTAの基底となる（ImTAの次元は2）

TA(e1)とTA(e2)は一次独立であることに注意

（4）に関して
KerTAは同次連立1次方程式 Ax=0を解けばよい。係数行列Aを階段行列に変形すればよい
ImTAの基底であるから、
x=3a+5b
y=5a+9b
z=-8a-14b
であることに注意

［5C-3］

https://i.imgur.com/HBF1AhY.jpg

（1）に関して、長ったらしく書くのもめんどくさいので
f(x)=A(x)で片して良い。
i)f(x+y)=f(x)+f(y)
ii)f(kx)=kf(x)
の2つを示すこと

（２）に関して
R^3の標準基底を用意し、fの変換が表現行列A と等しいことを式で表し、Aを変換してrank2となるようなa,bの式を求める。
なお、rank2とするのはKer(f)が1であるから

［5C-4］

https://i.imgur.com/LgdSxPV.jpg

（１）に関して
基礎中の基礎なので省略
（２）に関して
[5C-2]の(3)との違いに注意

（３）に関して
(A-λ1E)x=v1 の拡大係数行列を作り、階段行列に落とし込む。
任意の数cを用いてv3を求めた後、一番簡単なc=0を代入し、それを答案とする。

（４）に関して
xにそれぞれv1,v2,v3を代入して、v1,v2,v3の一次式をもとめ、それをくくりだし、表現行列Bとする。
非常につかみどころがない問題のため　要復習

［5C-5］

https://i.imgur.com/TjQL5i0.jpg

（１）、（２）に関して
基礎問題なので省略
なお、外積の計算に注意

（３）に関して
平面の式にの係数に外積結果を使い、あとは（x,y,z)=(1,1,2)を代入しdを決定すれば良い

個人的に平面をπって定義するのはナンセンスと思うが筑波大学の問題なので文句は言わないでおく

（４）に関して
これは高校数学の範囲である。（３）の式を変形してtの二次式にして、x,y,zの範囲を絞る。
この時、z=2の時とzが2以外の時で場合分け
前者の場合はx,yも決まった点となる
後者の場合は判別式Dが負の値となることに注意

z=2のとき　yは1以外ですわこれ

［5C-6］

https://i.imgur.com/PqtN7Js.jpg

（１）に関して
具体的な座標を3つプロットし、任意の二つのベクトル（一次独立であることに注意）を求め、その二つをシュミットの正規直交化を用いれば良い。
シュミットの直交化に関しては式を丸暗記するだけでなく、意味もちゃんと理解しておくこと