f(x)＝√x+1のときf(x)＝f^-1(x)の解
√(x+1)ではなく、√xに+1です。f^1(x)はf(x)の逆関数です。解は(3+√5)/2なんですが、どうしてそうなるか分かりません。以下自分の解き方
まず逆関数を求める。
y=√x+1
√x=y-1
x=(y-1)^2
f^1(x)=(x-1)^2ここまでは合ってる？
√x+1=(x-1)^2
√x=x^2-2x
x=(x^2-2x)^2
展開して移項すると
x(x-1)(x^2-3x+1)=0
よってx=0、1、(3±√5)/2 以上
x=1のときはそもそも成り立たないのにどうしてそういう答えが出てしまったのかわからないし、0に至っては代入しても成立するしx>0という条件もないのになぜ違うのかがわかりません。答えが出ているっちゃ出ているんですが、(3+√5)/2以外が式では出ているのに解になっていない理由が知りたいです。自分では原因が分かりませんでした。
＞でも結局なんで0は含まれないんですかね？
√x=y-1
x=(y-1)^2
√x≧0なのでy≧1
xとyを入れ替えてf^-1(x)=(x-1)^2 (x≧1)
f(x)=√x+1≧1なので、逆関数の定義域はx≧1になると考えてもいいです。
だからx=0も含まれない。
√x+1=(x-1)^2
この方程式を解けって問題ならx=0も解だけど、>>1の問題は逆関数が絡んでるので定義域も考慮しないといけない。
大前提として、関数というのは一対一に対応してないといけない。
現にy=(x-1)^2は、あるxに対応するyは1つに決まるけど、あるyに対応するxは1つに決まらないから、逆関数を定義できない。
x≧1という制限がついてはじめてxとyが一対一に対応する。
＞x=1のときはそもそも成り立たないのにどうしてそういう答えが出てしまったのかわからないし
一言で言えば2乗するのは同値な変形じゃないから
√x=x^2-2x ･･･①
x=(x^2-2x)^2･･･②
①⇒②は正しいですが、②⇒①は誤り。なぜなら、②⇒±√x=x^2-2xだから。
つまり、②は①の他にも、-√x=x^2-2xという方程式も解いたことになってる。x=1はここから出てきました。
>>2の通り、①⇔②かつx^2-2x≧0です。